20 Мая 2005 | 14:00

Комментарии: 0

Султанов Б.В, Щербаков М.А., Дорошкевич В.В.
Пензенский государственный университет

Объектом исследования в данной работе является цифровая система фазовой синхронизации (ЦСФС) с аналогово-цифровым преобразованием до петли фазовой автоподстройки. Преимущества цифровой обработки обуславливают высокие технические характеристики систем данного класса, а успехи, достигнутые в области разработки современных сигнальных микропроцессоров, способствуют постоянному расширению областей их применения.
При отсутствии шума (n_ш[k]=0) разностное уравнение автономной астатической ЦСФС второго порядка принимает вид [1]:

,   (1)
где j[k] и y[k] - последовательности отсчетов соответственно фазы задающего (входного) сигнала и фазовой ошибки (разности фаз задающего и подстраиваемого колебаний); k1 и k2 - постоянные коэффициенты.
Рассмотрим имеющую большое практическое значение ситуацию, когда фаза задающего колебания j[k] изменяется по линейному закону: j[k]=w_0rk, где w_0r=2pf_r/f_д; f_д - частота дискретизации. Она возникает при наличии постоянного сдвига f_r частоты входного сигнала относительно ее номинального значения f. Нетрудно убедиться, что при линейном законе изменения j[k] правая часть соотношения (1) обращается в ноль. С учетом этого его можно записать следующим образом: ,   (2)
Переходя к конечным разностям , на основании (2) получаем:
,   (3)
Найти общее решение нелинейного разностного уравнения (3) не представляется возможным. Однако построить фазовый портрет анализируемой системы можно, решив его численным методом. При этом оказывается полезным свойство периодичности уравнения (3) по с периодом , которое позволяет заключить, что при любом целом n.
Найти общее решение DY=F₂(Y) нелинейного разностного уравнения (3) не представляется возможным. Однако построить фазовый портрет анализируемой системы можно, решив его численным методом. При этом оказывается полезным свойство периодичности уравнения (3) по Y с периодом 2p, которое позволяет заключить, что DY=(y+2pn)=Dy(y) при любом целом n.
Состояниям равновесия исследуемой ЦСФС на фазовой плоскости соответствует выполнение равенств DY[k]=DY[k-1]=0. При этом из (3) имеем:
.   (4)
Поскольку в стационарном состоянии
,   (5)
а в соответствии с условиями асимптотической устойчивости [2] k1№k2, соотношение (4) будет выполняться лишь в случае, когда
.
Отсюда с учетом (5) нетрудно определить фазовую координату точек равновесия:
Y_0m=pm, m - любое целое.   (6)
Исследуем характер найденных особых точек фазовой плоскости (y_0m,0). При m=0 (так же как и при других четных m) линейному приближению разностного уравнения (1) в окрестностях точки (0,0), получаемому на основе соотношения , соответствует характеристический полином Q₂(l)=l²-(2-k1)l+1+k2. Как показано в работе [2], в том случае, если коэффициенты k1 и k2 удовлетворяют условиям:
,
нули полинома P₁ и P₂ являются действительными и выполняются неравенства |P₁|<1, |P₂|<1. Поэтому точка (0,0) представляет собой устойчивый узел. При выборе k1 и k2 из условий по-прежнему выполняются вышеприведенные неравенства, но нули Q₂(l) становятся комплексными, и в точке (0,0) имеет место устойчивый фокус [3]. Границей модуля отрицательного сдвига f_r является значение f номинальной частоты поступающего на вход ЦСФС гармонического колебания. Верхняя граница сдвига f_r в положительном направлении определяется из задаваемого условием Котельникова соотношения f+f_rЈf_д/2.
В окрестностях точки (p,0) (так же как и в других центрах равновесия, соответствующих нечетным значениям m в (6) ) при переходе к линейному приближению справедливо соотношение . В результате получаемый в этом случае характеристический полином отличается от знаками при коэффициентах k1 и k2. Можно показать, что при выборе значений k1 и k2 удовлетворяющими условиям асимптотической устойчивости (1.74), нули и полинома являются действительными и положительными, причем >1, а <1. Поэтому состояния равновесия в точке (p,0) (и других, соответствующих нечетным m в (6) ) является неустойчивым и называется седлом [3].
Практически построение фазовых траекторий удобно выполнить на основе последовательного вычисления значений Dy[k] в соответствии с разностным уравнением (1.84), предварительно задавшись начальными условиями y[0] и y[1], определяющими исходные фазовое (y[0]) и частотное (Dy[1]=y[1]-y[0]) рассогласования в системе. При каждом новом значении Dy[k] (k>1) необходимое для последующих вычислений значение y[k] рассчитывается как y[k]=Dy[k]+y[k-1].
Построенный таким образом фазовый портрет системы представлен на рис. 1. Отметим, что его вид во многом аналогичен фазовым портретам непрерывной астатической системы синхронизации второго порядка, приведенным в работе [4].

С использованием отмеченного выше свойства периодичности уравнения (3) изображенные на рис.1 фазовые траектории построены в диапазоне изменения величины y[k-1] от -p до p при k1=0.032, k2=-0.031. На рисунке представлены фазовые траектории двух процессов. Первый из них характеризует поведение системы при начальных условиях y[0]=-p; Dy[1]=p/12 и расположен в верхней полуплоскости. Второй соответствует начальным условиям y[0]=p; Dy[1]=-p/12 и находится в нижней части графика. Изображающая точка пробегает траектории слева направо в первом случае и в обратном направлении во втором. Поскольку в ЦСФС обработка сигналов осуществляется дискретно во времени, реальные фазовые траектории представляют собой набор непримыкающих друг к другу отдельных точек плоскости, через которые на графиках с целью обеспечения целостности их восприятия проведены сплошные линии. При этом конечное и начальное значения (соответствующие, например, y=p и y=-p в верхней полуплоскости) предшествующей (находящейся дальше от линии 0) и последующей циклических траекторий представляют собой два смежных отсчета последовательности Dy[k]=F₂(y[k-1]). Так как дискретные значения фазовой ошибки y[k-1] практически никогда не совпадают с моментами смены периодов величины Dy[k], соответствующими осям p и -p, на рисунках имеют место "неровности" окончания траекторий в правой и левой частях графиков.
При больших значениях величины |Dy[k]| фазовые траектории на интервале [-p . . . p] представляют собой отрезки синусоиды. При пробегании изображающей точки по каждому такому отрезку от -p до p (или от p до -p при Dy[1]<0) имеет место небольшое уменьшение (спад) модуля результирующего значения Dy. По мере приближения траектории к линии 0 величина спада возрастает. Это продолжается до тех пор, пока при некотором y"mp (m - некоторое нечетное целое число) значение |Dy| не окажется в пределах интервала 0А. С этого момента заканчивается циклическое изменение величины Dy. Далее фазовое y и частотное Dy рассогласования будут уменьшаться, стремясь к значениям (y=0; Dy=0). При этом говорят [4], что система захвачена по частоте, так как ее состояние перестает претерпевать циклические изменения.
Как видно из графика, фазовый портрет системы имеет одно устойчивое состояние равновесия (устойчивый фокус) в точке (y=0; Dy=0). Поскольку, как отмечалось выше, ввиду дискретного характера фазовых траекторий значения фазовой ошибки y[k-1] практически никогда не совпадают с точками ±p, центры неустойчивого равновесия, соответствующие координатам (y=±p; Dy=0) у рассматриваемой системы фактически отсутствуют.
Анализ количественных соотношений, характеризующих динамику ЦСФС второго порядка, проводился на основе численного решения нелинейного разностного уравнения (1). Исследования показали, что рассматриваемая система так же как и ее непрерывный аналог[4] имеет практически неограниченный диапазон захвата по частоте, хотя при очень больших начальных частотных расстройках длительность переходного процесса резко возрастает.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Б.В.Султанов, В.В.Дорошкевич, В.Е.Захаренков Математические модели цифровых систем фазовой синхронизации // Специальная техника средств связи Сер.: Системы, сети и технические средства конфиденциальной связи Вып. 1 - Пенза: ПНИЭИ, 2000. - С. 99 - 101.
2. В.К.Бочков, В.В.Дорошкевич, В.Е.Захаренков и др. Анализ устойчивости цифровой системы фазовой синхронизации // Специальная техника средств связи Сер.: Системы, сети и технические средства конфиденциальной связи Вып. 1 - Пенза: ПНИЭИ, 2000. - С. 96 - 98.
3. Иванов В. А., Ющенко А. С. Теория дискретных систем автоматического управления. ­ М: Наука, 1983. ­ 336 с.
4. Витерби Э. Д. Принципы когерентной связи. М.: Советское радио, 1973. ­ 344 с.

20 Мая 2005 | 14:00

Комментарии: 0